文档
数学
预备1-方程

预备1-方程

一元二次方程

一个未知数，两次方

  • 一般式 $ax^2+bx+c=0$

  • 判别式

    $\bigtriangleup=b^2-4ac$

    • 当 $\bigtriangleup>0$ 时有两个实数解

    • 当 $\bigtriangleup=0$ 时有一个实数解

    • 当 $\bigtriangleup=<$ 时没有实数解

  • 求根公式

    $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  • 相关公式

    $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

    $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

    $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

  • 韦达定理(一般用于验证解是否正确)

    $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$

    $x_{1}x_{2}=-\frac{c}{a}$

  • 例题

    1. 例题1:

      $2x^2+5x-3=0$

      解：

      1. $a=2,b=5,c=-3$
      2. 根据 $\bigtriangleup=b^2-4ac$ 得 $\bigtriangleup=49$
      3. $\bigtriangleup>0$ 有两个实数解
      4. 带入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 得 $x_{1}=-3,x_{2}=\frac{1}{2}$

    2. 例题2:

      $(x-2)(1-3x)=0$

      解：

      1. 0乘以任何数都等于0
      2. $x-2=0,1-3x=0$
      3. $x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{3}$

    3. 例题3:

      $x^3-4x=0$

      解：

      1. $x^3-4x=0=x(x^2-4)$
      2. 0乘以任何数都等于0
      3. $x_{1}=0,x^2-4=0$
      4. $x=\pm\sqrt{4}$
      5. $x_{2}=2,x_{3}=-2$

建议背起来：$1^2$到$20^2$ 的值

二元一次方程组

两个未知数，一次方，多个方程的组合

  • 一般式

$ \begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{cases} $

  • 判断是否有解

    • $\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq\frac{b_{1}}{b_{2}}$ 有唯一解
    • $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq\frac{c_{1}}{c_{2}}$ 无解
    • $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ 有无穷多解

  • 解方程：a带入消元法，b加减消元法

  • 例题

    1. 求二元一次方程组 $\begin{cases}x+y=3\\frac{x}{y}=5\end{cases}$

      • 解：
        1. $\frac{x}{y}=5$ 得 $x=5y$
        2. 带入 $x+y=3$ 得 $5y+y=3$, 得 $y=\frac{1}{2}$
        3. 代入 $x+y=3$ 得 $x+\frac{1}{2}=3$, 得 $x=\frac{5}{2}$

    2. 求二元一次方程组 $\begin{cases}2x+y=7\\4x-2y=6\end{cases}$

      • 解
        1. 根据方程组得: $2(2x+y)-(4x-2y)=14-6$
        2. => $4x+2y-4x+2y=8$
        3. => $4y=8, y=2$
        4. 代入$2x+y=7,x=\frac{5}{2}$

    3. 鸡兔同笼问题，鸡兔共35只，共94条腿，求鸡兔各多少只？

      • 解：
        1. 设鸡x只，兔y只。
        2. 根据题意可得二元一次方程组 $\begin{cases}x+y=35\\2x+4y=94\end{cases}$
        3. => $\begin{cases}2x+2y=70\\2x+4y=94\end{cases}$
        4. => $2y=24, y=12$
        5. => $2x+24=70$ => $x=23$

    4. $\begin{cases}x+2y=4\\2x+ay=2a\end{cases}$ 1.若方程组有无穷多解，求a的值。 2. 当a=6时，求方程组的解

      1. 解：
        1. 根据公式 $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ 和题意可得 $\frac{1}{2}=\frac{2}{a}=\frac{4}{2a}$
        2. $a=4$
      2. 解：
        1. 根据题意可得 $\begin{cases}x+2y=4\\2x+6y=12\end{cases}$
        2. => $\begin{cases}2x+4y=8\\2x+6y=12\end{cases}$
        3. => $2y=4,y=2$
        4. 代入 $x+2y=4$ => $x=0$

    5. 求抛物线 $y=x^2 -x$ 与直线 $y=x+3$ 的交点

      • 解：
        1. 根据题意可得$\begin{cases}y=x^2 -x\\y=x+3\end{cases}$
        2. => $x+3=x^2-x$ => $x^2-2x-3=0$
        3. 根据 $\bigtriangleup=b^2-4ac$ 得 $\bigtriangleup=16$
        4. 根据 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 得 $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}$
        5. $x_{1}=3，x_{2}=-1$
        6. 当x=3，代入 $y=x+3$ 得y=6
        7. 当x=-1，代入 $y=x+3$ 得y=2
        8. 故交点为 (9,12) 和 (7,10)
预备2-集合