预备3-解不等式

解一元二次不等式

1. 一元二次函数的性质

   1. 一元二次函数的图像
      1. a>0 时图像开口向上
      2. a<0 时图像开口向下
      3. 其对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$
      4. 其顶点坐标为 ($-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}$)
      5. 韦达定理 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

2. 解一元二次不等式

   1. 已知 f(x)=$x^2-2x-8$ 求 f(x)=0, f(x)>0, f(x)<0,

      1. f(x)=0 => $x^2-2x-8=0$

         1. $\bigtriangleup=36$, $\bigtriangleup>0$
         2. $x=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}$
         3. $x_{1}=4, x_{2}=-2$

      2. f(x)>0 => $x^2-2x-8>0$

         1. a>0 开口向上
         2. $(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$

      3. f(x)<0 => $x^2-2x-8<0$

         1. a>0 开口向下
         2. $(-2,4)$

   2. 求 $2x^2+6x\geq0$ 的解集

      • 步骤 1画图 2 解一元二次不等式
      1. a>0 函数图像开口向上
      2. 设 $2x^2+6x=0$
      3. $\bigtriangleup=36$
      4. $x=\frac{-6\pm\sqrt{36}}{4}$
      5. $x_{1}=-3,x_{2}=0$
      6. 函数在y轴上的交点为 (-3,0),(0,0)
      7. $2x^2+6x\geq0$ 的解集为 $(-\infty,-3]\cup[0,+\infty)$

   3. 求 $-2x^2+9x+5\leq0$ 的解集

      1. a<0 函数开口向下
      2. $-2x^2+9x+5=0$
      3. $\bigtriangleup=81+40=121$
      4. $x=\frac{-9\pm\sqrt{121}}{-4}$
      5. $x_{1}=5,x_{2}=-\frac{1}{2}$
      6. 在y轴上的交点为$(5,0),(-\frac{1}{2},0)$
      7. $(-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[5,+\infty)$

绝对值不等式

1. 不等式的性质

   1. $a>b \Rightarrow a-b>0$
   2. $a>b,b>c \Rightarrow a>c$
   3. $a>b,k>0 \Rightarrow ka>kb$
   4. $a>b, k<0 \Rightarrow ka < kb$
   5. $a>b,c>d \Rightarrow a+c > b+d$

   不等式的左右同时乘以一个正数 不等式符号不变
   不等式的左右同时乘以一个负数 不等式符号改变

2. 算术平均数 $\frac{a+b}{2}$

3. 几何平均数 $\sqrt{ab}$

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ 当且仅当a=b时，"=" 成立

4. 绝对值是指一个数在数轴上所对应的点到原点的距离
5. 绝对值不等式
   • 不等式|f(x)|>a>0 等价于 f(x) > a 或 f(x) < -a
   • 不等式 |f(x)|< a 等价于 -a < f(x) < a

|a+b|<= |a| + |b| 当且仅当a与b同号， 或者其中一个=0时，"=“成立

$x^2=|x|^2,x^2\geq0,|x|=\sqrt{x^2}$